INTRODUÇÃO, 13
1 RANKING, 16
1.1 História do Ranqueamento, 16
1.1.1 Problema de Borda, 17
1.2 Aprendizado de máquina, 18
1.2.1 Learning to Rank, 19
1.2.1.1 Métodos baseados em pontos, 21
1.2.1.2 Métodos baseados em pares, 22
1.2.1.3 Métodos baseados em listas, 23
1.3 Conjuntos de dados modernos, 24
1.3.1 Pontuações cardinais, 25
1.3.2 Dados incompletos, 25
1.3.3 Dados desbalanceados, 27
1.3.4 Redes complexas, 28
1.4 Inconsistências cíclicas nos rankings, 29
1.4.1 Paradoxo de Condorcet, 30
1.4.2 Probabilidade de intransitividade, 32
2 TEORIA DOS GRAFOS, 35
2.1 Problema das pontes de Königsberg, 35
2.2 O que é um grafo?, 36
2.2.1 Matriz de adjacência, 41
2.2.2 Matriz de grau, 42
2.2.3 Matriz laplaciana, 43
2.3 Grafos ponderados, 44
2.3.1 Matriz de adjacência ponderada, 45
2.3.2 Matriz de grau ponderada, 46
2.3.3 Matriz laplaciana ponderada, 47
2.4 Incompletude e desbalanceamento do conjunto de dados, 48
2.4.1 Incompletude, 49
2.4.2 Desbalanceamento, 49
3 RANQUEAMENTO ESTAT´ıSTICO EM GRAFOS, 51
3.1 Uso da teoria de HodgeRank na literatura, 51
3.2 Definições e notação básica da teoria de HodgeRank, 53
3.2.1 Exemplo de obtenção da matriz de avaliações, 55
3.2.2 Ranking global, 56
3.2.3 Função pontuação, 60
3.2.4 Matriz de comparação em pares, 61
3.2.5 Matriz de pesos, 63
3.3 O problema de minimização, 64
3.3.1 Fluxo nas arestas de um grafo, 65
3.3.2 Gradiente combinatório, 67
3.3.3 Comparação em pares agregada, 71
3.3.4 Funções comparação, 74
3.4 Inconsistência local e global, 77
3.4.1 Fluxo triangular em um grafo, 77
3.4.2 Rotacional combinatório, 78
3.4.3 Divergente combinatório, 84
4 VISAO MATRICIAL DA DECOMPOSIÇÃO DE HODGE, 86
4.1 Construção dos subespaços das matrizes antissimétricas, 86
4.2 Decomposição matricial de Hodge, 90
5 TEORIA DE HODGE COMBINATÓRIA, 93
5.1 Complexos simpliciais, 93
5.1.1 Extensão do grafo de comparação em pares a um complexo simplicial, 97
5.1.2 Relação de ordem parcial nos complexos simpliciais, 99
5.2 Generalização dos operadores combinatórios, 103
5.2.1 Cocadeias, 103
5.2.2 Produtos internos, 104
5.2.3 Operadores de cofronteira, 105
5.2.4 Operadores de cofronteira adjuntos, 106
5.2.5 Operadores laplacianos combinatórios, 114
5.3 Teorema da decomposição de Hodge, 115
5.3.1 Interpretação dos subespaços na decomposição de Helmholtz, 121
6 ANÁLISE DA TEORIA DE HODGERANK, 123
6.1 Pseudoinversa de Moore-Penrose, 123
6.1.1 Lei da ordem reversa para matrizes pseudoinversas de Moore-Penrose, 125
6.2 Obtenção da função potencial de norma mínima, 127
6.2.1 Contagem de Borda, 129
6.3 Obtenção do fluxo rotacional, 131
6.4 Análise das inconsistências na teoria de HodgeRank, 133
6.4.1 Análise dos percentuais de inconsistência local e global, 135
6.4.2 Inconsistência local relativa, 137
6.4.3 Percentual de representatividade do ranking global, 138
6.4.4 Representação gráfica para matrizes, 138
6.5 Algoritmo para a decomposição de Helmholtz, 142
7 APLICAÇÃO DA TEORIA DE HODGERANK AOS DADOS HISTÓRICOS DO CAMPEONATO BRASILEIRO DE FUTEBOL, 145
7.1 Histórico do Campeonato Brasileiro de Futebol, 146
7.2 Descrição do problema, 148
7.2.1 Coleta dos dados e obtenção da comparação em pares agregada, 148
7.2.2 Geração dos resultados, 150 7.3 Análise dos resultados obtidos, 150
7.3.1 Análise do ranking global com todos os clubes da Série A de 1988 a 2014, 151
7.3.2 Análise do ranking com os clubes mais relevantes da Série A de 1988 a 2014, 157
7.3.3 Análise da inconsistência local relativa, 163
CONCLUSÃO, 168
REFERÊNCIAS, 171